Kako koristiti Monte Carlo simulaciju s GBM-om

Jedan od najčešćih načina za procjenu rizika je uporaba Monte Carlo simulacije (MCS). Na primjer, za izračunavanje vrijednosti rizika (VaR) portfelja možemo pokrenuti simulaciju Monte Carla koja pokušava predvidjeti najgori mogući gubitak portfelja s obzirom na interval pouzdanosti tijekom određenog vremenskog razdoblja (uvijek moramo navesti dva uvjeti za VaR: povjerenje i horizont).

U ovom ćemo članku pregledati osnovni MCS primijenjen na cijenu dionica koristeći jedan od najčešćih financijskih modela: geometrijski Brownov pokret (GBM). Stoga, iako se simulacija Monte Carla može odnositi na svemir različitih pristupa simulaciji, ovdje ćemo započeti s najosnovnijim.

Gdje započeti

Simulacija Monte Carla pokušaj je više puta predvidjeti budućnost. Na kraju simulacije, tisuće ili milijuni "nasumičnih ispitivanja" proizvode raspodjelu rezultata koji se mogu analizirati. Osnovni koraci su sljedeći:

1. Navedite model (npr. GBM)

Za ovaj ćemo članak koristiti Geometric Brownian Motion (GBM), koji je tehnički Markov proces. To znači da cijena dionica slijedi nasumično hodanje i u skladu je sa (u najmanju ruku) slabim oblikom hipoteze o učinkovitom tržištu (EMH) - podaci o prošlim cijenama već su ugrađeni, a sljedeće kretanje cijena "uvjetno je neovisno" od prošla kretanja cijena.

Formula GBM nalazi se u nastavku:

Gdje:

• S = Cijena dionica
• Δ S = Promjena cijene dionica
• μ = Očekivani povrat
• σ = Standardno odstupanje povrata
• ϵ = Slučajna varijabla
• Δ t = proteklo vremensko razdoblje

Ako preuredimo formulu da je riješimo samo za promjenu cijene dionica, vidimo da GBM kaže da je promjena cijene dionica cijena dionice "S" pomnožena s dva termina koja se nalaze u zagradama u nastavku:

Prvi izraz je "drift", a drugi pojam "šok". Za svaki vremenski period, naš model pretpostavlja da će cijena „porasti“ prema očekivanom povratu. Ali pomak će biti šokiran (zbrajen ili oduzet) slučajnim šokom. Slučajni šok će biti standardno odstupanje "s" pomnoženo sa slučajnim brojem "e". Ovo je jednostavno način skaliranja standardnog odstupanja.

To je suština GBM-a, kao što je prikazano na slici 1. Cijena dionice slijedi niz koraka, pri čemu je svaki korak pomicanje plus ili minus slučajni šok (što je i sama funkcija standardnog odstupanja dionica):

Slika 1

2. Stvaranje slučajnih pokusa

Naoružani specifikacijom modela nastavljamo s izvođenjem nasumičnih pokusa. Za ilustraciju, koristili smo Microsoft Excel za pokretanje 40 suđenja. Imajte na umu da je ovo nerealno mali uzorak; većina simulacija ili "sims" pokrenuti su najmanje nekoliko tisuća pokusa.

U ovom slučaju, pretpostavimo da dionica počinje na dan nula, s cijenom od 10 dolara. Evo grafikona rezultata u kojem je svaki vremenski korak (ili interval) jedan dan, a serija traje deset dana (ukratko: četrdeset suđenja sa dnevnim koracima tijekom deset dana):

Slika 2: Geometrijsko Brownovo kretanje

Rezultat je četrdeset simuliranih cijena dionica na kraju 10 dana. Niti jedno se nije dogodilo ispod 9 USD, a jedno iznad 11 USD.

3. Obradite izlaz

Simulacija je proizvela distribuciju hipotetičkih budućih ishoda. S izlazom bismo mogli učiniti nekoliko stvari.

Ako, na primjer, želimo procijeniti VaR s 95% pouzdanosti, tada moramo samo pronaći trideset osmi rangirani ishod (treći najgori ishod). To je zato što je 2/40 jednako 5%, pa su dva najgora ishoda u najnižih 5%.

Ako ilustrirane rezultate slažemo u kante za smeće (svaka kanta je trećina 1 USD, tako da tri kante pokrivaju interval od 9 do 10 USD), dobit ćemo sljedeći histogram:

Slika 3

Zapamtite da naš GBM model pretpostavlja normalnost; povrat cijena se obično raspodjeljuje s očekivanim povratom (srednjim) "m" i standardnim odstupanjem "s". Zanimljivo je da naš histogram ne izgleda normalno. Zapravo, s više pokusa, neće težiti normalnosti. Umjesto toga, ona će se kretati ka lonormalnoj distribuciji: oštar pad lijevo od srednje vrijednosti i visoko nakrivljen "dugački rep" s desne strane srednje vrijednosti.

To često dovodi do potencijalno zbunjujuće dinamike za studente prvih studija:

• Povrat cijena se obično distribuira.
• Razine cijena obično se raspodjeljuju putem zapisa.

Razmislite na ovaj način: Zaliha se može vratiti ili smanjiti za 5% ili 10%, ali nakon određenog vremena cijena dionica ne može biti negativna. Nadalje, poskupljenja naopako imaju složeni učinak, dok smanjenje cijena na donjoj strani smanjuje bazu: izgubite 10%, a slijedeći put ćete imati manje gubitka.

Evo grafikona lognormalne distribucije nadigranog na naše ilustrirane pretpostavke (npr. Početna cijena od 10 USD):

Slika 4

Donja linija

Simulacija Monte Carlo primjenjuje odabrani model (koji specificira ponašanje instrumenta) na veliki skup nasumičnih ispitivanja u pokušaju stvaranja vjerodostojnog skupa mogućih budućih ishoda. U pogledu simuliranja cijena dionica, najčešći model je geometrijsko Brownovo kretanje (GBM). GBM pretpostavlja da je konstantan pad praćen nasumičnim udarima. Iako se povrati razdoblja ispod GBM-a obično raspodjeljuju, razina cijena koja slijedi (primjerice, deset dana) razina cijena se normalno raspodjeljuje.