Izračunavanje sadašnje i buduće vrijednosti anuiteta

U nekom trenutku svog života možda ste morali izvršiti niz fiksnih plaćanja tijekom određenog vremena - kao što je najamnina ili plaćanje automobila - ili ste tokom određenog perioda primili niz plaćanja, poput kamata iz obveznica ili CD-ovi. Oni se nazivaju anuiteti (generičkija upotreba riječi - ne treba ih brkati s posebnim financijskim proizvodom koji se naziva anuitet, mada su dvije povezane). Ako razumijete vremensku vrijednost novca, spremni ste naučiti o anuitetima i kako se izračunavaju njihove sadašnje i buduće vrijednosti.

Što su anuitete?

Rnute su u osnovi niz fiksnih plaćanja koja se traže od vas ili se plaćaju, uz određenu frekvenciju tijekom određenog vremenskog razdoblja. Učestalosti plaćanja mogu biti godišnje, polugodišnje (dva puta godišnje), tromjesečno i mjesečno. Postoje dvije osnovne vrste anuiteta: redovita anuiteta i dospjela anuiteta.

• Obična anuiteta: Plaćanja su obavezna na kraju svakog razdoblja. Na primjer, ravne obveznice obično izvršavaju kuponske isplate na kraju svakih šest mjeseci do datuma dospijeća obveznice.
• Dospjela anuiteta: Plaćanja su obavezna na početku svakog razdoblja. Najam je primjer dospjelog anuiteta. Obično morate plaćati najamninu kada se prvo uselite početkom mjeseca, a nakon toga svakog prvog mjeseca nakon toga.

Budući da su sadašnje i buduće kalkulacije vrijednosti za uobičajene anuitete i dospijeće dospijeće malo drugačije, raspravljat ćemo ih odvojeno.

Obične anuitete

Izračun buduće vrijednosti

Ako znate koliko možete uložiti po nekom razdoblju za određeno vremensko razdoblje, buduća vrijednost (FV) obične formule anuiteta korisna je za otkrivanje koliko biste imali u budućnosti. Ako plaćate plaćanje putem zajma, buduća vrijednost je korisna u određivanju ukupnih troškova zajma. Ako znate koliko planirate uložiti svake godine i fiksnu stopu povrata jamstava za anuitet - ili, za kredite, iznos plaćanja i zadanu kamatnu stopu - lako možete odrediti vrijednost svog računa u bilo kojem trenutku u budućnost.

Krenimo sada kroz primjer 1. Razmislite o sljedećem rasporedu novčanog toka anuiteta:

Da bismo izračunali buduću vrijednost anuiteta, moramo izračunati buduću vrijednost svakog novčanog toka. Pretpostavimo da tijekom sljedećih pet godina primate 1.000 USD godišnje i uložite svaku uplatu uz 5% kamate. Sljedeći dijagram prikazuje koliko biste imali na kraju petogodišnjeg razdoblja:

Budući da moramo dodati dodatnu vrijednost svake isplate, možda ste primijetili da ako imate običnu anuitetu s mnogo novčanih tokova, dugo će trebati izračunati sve buduće vrijednosti, a zatim ih zbrojiti. Srećom, matematika pruža formulu koja služi kao prečac za pronalaženje akumulirane vrijednosti svih novčanih tokova primljenih od obične rente:

FVO uobičajena anuiteta = C × [(1 + i) n − 1i] gdje je: C = Novčani tijek po periodi = Kamata = Broj plaćanja \ početak {usklađeno} & \ tekst {FV} _ {\ tekst {Običan ~ anuitet }} = \ tekst {C} \ puta \ Veliki [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Veliki] \\ & \ textbf {gdje:} \\ & \ tekst {C} = \ tekst {Novčani tijek po razdoblju} \\ & i = \ tekst {Kamatna stopa} \\ & n = \ tekst {Broj plaćanja} \\ \ kraj {usklađeno} FVO redovna anuiteta = C × [i (1 + i) n − 1] gdje je: C = novčani tijek po periodi = kamata = broj plaćanja

Koristeći gornju formulu za gornji primjer 1, to je rezultat:

FVOrdinalna anunost = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ početak {poravnano} \ tekst {FV} _ {\ tekst {Običan ~ anuitet}} & = \ $ 1000 \ puta \ lijevo [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ desno] \\ & = \ $ 1000 \ puta [5.53] \\ & = \ 5525.63 \ end {poravnano} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0.05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5, 53]

Izračunavanje sadašnje vrijednosti

Imajte na umu da je razlika od jedan cent između 5.525, 64 i 5.525, 63 dolara zbog pogreške u zaokruživanju u prvom izračunu. Svaka vrijednost prvog izračuna mora se zaokružiti na najbliži denar - što više morate zaokružiti brojeve u izračunu, pojavit će se vjerojatnije pogreške u zaokruživanju. Dakle, gornja formula ne samo da daje prečac za pronalaženje FV-a obične rente, već daje i točniji rezultat.

Sadašnja vrijednost anuiteta jednostavno je trenutna vrijednost svih prihoda ostvarenih tim investicijom u budućnosti. Ovaj je izračun zasnovan na konceptu vremenske vrijednosti novca koji kaže da dolar sada vrijedi više od dolara zarađenog u budućnosti. Zbog toga sadašnji izračuni vrijednosti koriste broj vremenskih razdoblja tijekom kojih se generira prihod da bi se diskontirala vrijednost budućih plaćanja.

Ako želite odrediti današnju vrijednost budućeg niza plaćanja, trebate koristiti formulu koja izračunava sadašnju vrijednost (PV) običnog anuiteta. Ovo je formula koju biste koristili kao dio izračuna cijene obveznica. PV obični anuitet izračunava sadašnju vrijednost plaćanja kupona koje ćete primati u budućnosti.

Za primjer 2, upotrijebit ćemo isti raspored novčanog toka anuiteta kao u primjeru 1. Da bismo dobili ukupnu diskontiranu vrijednost, potrebno je uzeti sadašnju vrijednost svakog budućeg plaćanja i, kao što smo to napravili u primjeru 1, dodati novčani tokovi zajedno.

Ponovo, izračunavanje i dodavanje svih tih vrijednosti oduzeće mnogo vremena, posebno ako očekujemo mnogo budućih plaćanja. Iako brojni internetski kalkulatori mogu odrediti sadašnju vrijednost anuiteta, formula redovitog anuiteta nije pretjerano komplicirana za izračun ako upotrebimo matematički prečac za PV obične rente.

PVOredna anuiteta = C × [1− (1 + i) −ni] \ tekst {PV} _ {\ tekst {Običan ~ anitet}} = \ tekst {C} \ puta \ Veliki [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVO uobičajena anuiteta = C × [i1− (1 + i) −n]

Formula nam u PV-u pruža nekoliko jednostavnih koraka. Evo izračuna anuiteta prikazanog na dijagramu za Primjer 2:

PVOrinalna anuiteta = 1000 $ × [1− (1 + 0, 05) -50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ početak {poravnano} \ tekst {PV} _ {\ tekst {Običan ~ anuitet}} & = \ $ 1000 \ puta \ Veliki [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Veliki] \\ & = \ $ 1000 \ puta [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ kraj {poravnano} PVOrdinary Annuity = $ od 1000 × [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4, 33]

Izračun buduće vrijednosti

Kad primate ili plaćate novčane tokove za dospijeće anuitet, vaš će se tok novca prikazati na sljedeći način:

Budući da se svako plaćanje u nizu vrši jedno razdoblje prije, trebamo diskontirati formulu jedan period unatrag. Neznatna izmjena formule FV-a od uobičajenog anuiteta obračunava plaćanja koja se događaju na početku svakog razdoblja. U primjeru 3, ilustriramo zašto je ta izmjena potrebna kada se svako plaćanje u iznosu od 1.000 USD izvrši na početku razdoblja, a ne na kraju (kamatna stopa je i dalje 5%):

Kada se isplate izvrše na početku razdoblja, svaki se iznos zadržava dulje na kraju razdoblja. Na primjer, ako je 1.000 USD uloženo 1. siječnja, a ne 31. prosinca svake godine, posljednja uplata prije nego što našu investiciju vrednujemo na kraju pet godina (31. prosinca) bila bi izvršena prije godinu dana (1. siječnja), a ne istog dana kada se vrednuje. Buduća vrijednost anuitetne formule glasila bi:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ desno] \ puta (1 + i) FVAnnuitet zbog = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Stoga,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ početak {poravnano} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ puta \ lijevo [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ desno] \ puta (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5, 53 \ times1, 05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ end { poravnano} FVAnnunost = = 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1000 × 5, 53 × 1, 05

Otpremnina

Izračunavanje sadašnje vrijednosti

Za sadašnju vrijednost formule koja dospijeva na anuitet, trebamo diskontirati formulu za jedno razdoblje unaprijed jer se plaćanja održavaju za kraće vremensko razdoblje. Pri izračunu sadašnje vrijednosti pretpostavljamo da je prva uplata izvršena danas.

Pomoću ove formule mogli bismo izračunati sadašnju vrijednost vaših budućih plaćanja najma kako je navedeno u zakupu koji potpisujete sa svojim stanodavcem. Recimo da prvo plaćanje najamnine (pogledajte primjer 4, u nastavku) početkom mjeseca i procjenjujete sadašnju vrijednost vašeg petomjesečnog najma istog dana. Vaša sadašnja vrijednost funkcionira na sljedeći način:

Naravno, možemo upotrijebiti prečac formule za izračunavanje sadašnje vrijednosti anuiteta:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ desno] \ puta (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Stoga,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ početak {poravnanje) PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ puta \ lijevo [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ desno] \ puta (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ kraj {poravnano} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05

Podsjetimo da je sadašnja vrijednost redovnog anuiteta vratila vrijednost od 4.329, 48 USD. Sadašnja vrijednost običnog anuiteta manja je od anuitetne dospijeća jer što daljnje diskontiramo buduće plaćanje, niža je njegova sadašnja vrijednost - svako plaćanje ili novčani tok u običnoj anuiteti događa se jedno razdoblje dalje u budućnost.

Vremenska vrijednost novca

Budući izračun vrijednosti temelji se na konceptu vrijednosti novca u vremenu. To jednostavno znači da dolar zarađen danas vrijedi više od dolara zarađenog sutra jer sredstva koja sada kontrolirate možete uložiti i zarađivati ​​kamate tijekom vremena. Stoga je buduća vrijednost anuiteta veća od zbroja svih vaših ulaganja jer su ti doprinosi s vremenom zarađivali kamate. Na primjer, buduća vrijednost od 1000 dolara danas uloženih uz kamate od 10% iznosi 1100 USD godišnje za sada. Jedan dolar danas vrijedi 1, 10 dolara godišnje zbog vremenske vrijednosti novca.

Pretpostavimo da godišnje plaćate 5000 USD redovnom anuitetom u roku od 15 godina. Zarađuje 9% kamate, složene godišnje.

FV = 5000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) -1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2.642 ÷ 0, 09 \ početak {poravnano} FV & = \ 5000 $ \ puta \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ 5000 $ \ puta \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5000 $ \ puta 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5000 $ \ puta \ 146.804, 58 \ end {poravnano} FV = 5000 $ × {((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × {((1, 0915) -1)} ÷ 0.09 = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0.09

Bez snage kamata, vaš niz od 5000 dolara doprinosa vrijedi samo 75 000 USD na kraju 15 godina. Umjesto toga, uz složene kamate, buduća vrijednost vašeg anuiteta gotovo je dvostruko veća od 146 804, 58 USD.

Da biste izračunali buduću vrijednost dospjelog anuiteta, jednostavno pomnožite uobičajenu buduću vrijednost s 1+ i (kamatna stopa). U gornjem primjeru, buduća vrijednost anuiteta dospijeća s istim parametrima je jednostavno 146.804, 58 USD x (1 + 0, 09), odnosno 160.016, 99 USD.

Razmatranja sadašnje vrijednosti

Prilikom izračunavanja sadašnje vrijednosti anuiteta važno je da su sve varijable dosljedne. Na primjer, ako anuitet generira godišnje isplate, kamatna stopa također mora biti izražena kao godišnja stopa. Na primjer, ako anuitet generira mjesečne isplate, kamatna stopa također mora biti izražena kao mjesečna stopa.

Pretpostavimo da anuiteta ima kamatnu stopu od 10% koja generira godišnje isplate u iznosu od 3000 USD u sljedećih 15 godina. Sadašnja vrijednost ovog anuiteta je:

= $ 3.000 × (((1- (1 + 0, 1), 15)) ÷ 0.1) = $ 3.000 × ((1-0, 239392) ÷ 0.1) = $ 3.000 × (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608 \ početi {usklađeni } & = \ 3000 $ \ puta (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ puta ((1 - .239392) \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ puta (0.760608 \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ puta 7, 60608 \\ & = \ 22, 818 $ \ kraj {usklađeno} = 3000 $ × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × ((1-0, 239392) ÷ 0.1) = $ 3.000 × (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608

Sadašnja vrijednost anuiteta

Donja linija

Sada možete vidjeti kako anuiteti utječu na izračun sadašnje i buduće vrijednosti bilo koje količine novca. Imajte na umu da su frekvencije plaćanja ili broj plaćanja i vrijeme izvršenja tih plaćanja (bilo na početku ili na kraju svakog razdoblja plaćanja) sve varijable koje morate uzeti u obzir u svojim proračunima.

Pri planiranju mirovine važno je imati dobru ideju o tome koliko se prihoda možete osloniti svake godine. Iako je relativno lako pratiti koliko ulažete u mirovinske planove, sponzorirane od poslodavaca, pojedinačne mirovinske račune (IRA) i anuitete, nije uvijek lako znati koliko ćete dobiti. Srećom, kada je riječ o anuitetima s fiksnom kamatnom stopom ili planovima uloženim u vrijednosne papire s fiksnom kamatnom stopom, postoji jednostavan način izračunavanja koliko novca možete očekivati ​​da će biti na raspolaganju nakon umirovljenja, na temelju koliko ste stavili na račun tijekom svojih radnih godina,