Istraživanje pokretnih prosjeka eksponencijalno ponderiranih

Hlapljivost je najčešća mjera rizika, ali dolazi u nekoliko okusa. U prethodnom smo članku pokazali kako izračunati jednostavnu povijesnu volatilnost. U ovom ćemo članku poboljšati jednostavnu volatilnost i razmotriti eksponencijalno ponderirani pomični prosjek (EWMA).

Povijesna vs implicirana volatilnost

Prvo, stavimo ovu metriku u malo perspektive. Postoje dva široka pristupa: povijesna i podrazumijevana (ili implicitna) volatilnost. Povijesni pristup pretpostavlja da je prošlost prolog; mjerimo povijest u nadi da je prediktivna. S druge strane, implicirana volatilnost zanemaruje povijest; ono rješava volatilnost koju podrazumijevaju tržišne cijene. Nada se da tržište najbolje zna i da tržišna cijena sadrži, makar i implicitno, konsenzusnu procjenu volatilnosti.

Ako se usredotočimo na samo tri povijesna pristupa (slijeva gore), imaju dva zajednička koraka:

1. Izračunajte niz periodičnih povrata
2. Primijenite shemu ponderiranja

Prvo izračunavamo periodični povrat. To je obično niz dnevnih povrata gdje se svaki povratak izražava u kontinuirano složenim izrazima. Za svaki dan uzimamo prirodni dnevnik omjera cijena dionica (tj. Cijena danas podijeljena s cijenama od jučer i tako dalje).

ui = lnsisi − 1 drugdje: ui = povrat na dan isi = cijena dionica na dan je i − 1 = cijena dionica dan prije dana \ \ {{}} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {gdje:} \\ & u_i = \ tekst {povratak na dan} i \\ & s_i = \ tekst {cijena dionica na dan} i \\ & s_ {i - 1} = \ tekst {cijena dionica dan prije dana} i \\ \ kraj {usklađeno} ui = lnsi − 1 si gdje: ui = povrat na dan isi = cijena dionica na dan je i − 1 = cijena dionica dan prije dana i

To rezultira nizom dnevnih povrata, od u _i do u _im, ovisno o tome koliko dana (m = dana) mjerimo.

To nas vodi do drugog koraka: Ovdje se razlikuju tri pristupa. U prethodnom smo članku pokazali da je, uz nekoliko prihvatljivih pojednostavljenja, jednostavna varijanca prosjek kvadratnog povrata:

varijanca = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 drugdje: m = broj izmjerenih danan = daniu = razlika povrata od prosječnog povrata \ početak {usklađeno} & \ tekst {varijanca} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {gdje:} \\ & m = \ tekst {broj izmjerenih dana} \\ & n = \ tekst {dan} i \\ & u = \ tekst {razlika povrata od prosječnog povrata} \\ \ kraj {usklađeno} varijanca = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 gdje je: m = broj izmjerenih danan = daniu = razlika od povrata od prosječnog povrata

Napominjemo da se ovaj zbroj svakog periodičnog povrata dijeli, a zatim to ukupno dijeli s brojem dana ili opažanja (m). Dakle, to je stvarno samo prosjek kvadratnih periodičnih povrata. Drugim riječima, svaki kvadratni povrat dobiva jednaku težinu. Dakle, ako je alfa (a) važni faktor (konkretno, a = 1 / m), tada jednostavna varijanta izgleda ovako:

EWMA se poboljšava na jednostavnoj varijanti
Slabost ovog pristupa je u tome što svi prinosi zarađuju jednaku težinu. Jučerašnji (vrlo nedavni) povratak nema više utjecaja na varijancu nego povratak prošlog mjeseca. Taj je problem riješen korištenjem eksponencijalno ponderiranog pokretnog prosjeka (EWMA), u kojem noviji prinosi imaju veću težinu na varijanci.

Eksponencijalno ponderirani pomični prosjek (EWMA) uvodi lambda, što se naziva parametar izravnavanja. Lambda mora biti manje od jednog. Pod tim uvjetom, umjesto jednakih utega, svaki kvadratni povraćaj mjeri se množiteljem na sljedeći način:

Na primjer, RiskMetrics ^TM _, tvrtka za upravljanje financijskim rizikom, nastoji koristiti lambda od 0, 94 ili 94%. U ovom slučaju prvi (najnoviji) kvadratni periodični povrat ponderira se s (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Sljedeći povrat u kvadratu jednostavno je više lambda od prethodne težine; u ovom slučaju 6% pomnoženo sa 94% = 5, 64%. I težina trećeg prethodnog dana jednaka je (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

To je značenje "eksponencijalne" u EWMA: svaka težina je konstantni množitelj (tj. Lambda, koja mora biti manja od jedne) težine prethodnog dana. Na taj se način osigurava odstupanje ponderirano ili pristrano prema novijim podacima. Razlika između jednostavno volatilnosti i EWMA za Google prikazana je u nastavku.

Jednostavna volatilnost učinkovito važi svaki povremeni povrat za 0, 196% kao što je prikazano u stupcu O (imali smo dvije godine podataka o dnevnim cijenama dionica. To je 509 dnevnih povrata i 1/509 = 0, 196%). Ali primijetite da stupac P dodjeljuje težinu od 6%, zatim 5, 64%, zatim 5, 3% i tako dalje. To je jedina razlika između jednostavne varijance i EWMA.

Zapamtite: nakon što zbrojimo cijeli niz (u stupcu Q) dobivamo varijancu, koja je kvadrat standardnog odstupanja. Ako želimo nepostojanost, trebamo imati na umu uzeti kvadratni korijen te varijance.

Koja je razlika u dnevnoj isparljivosti između varijance i EWMA u Googleovom slučaju ">

Današnja varijanta je funkcija varijacije prethodnog dana

Primijetit ćete da smo trebali izračunati dugi niz eksponencijalno opadajućih utega. Ovdje nećemo raditi matematiku, ali jedna od najboljih karakteristika EWMA-a je da se čitav niz prikladno svodi na rekurzivnu formulu:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 drugdje: λ = stupanj ponderiranja padaσ2 = vrijednost u vremenskom razdoblju nu2 = vrijednost EWMA u vremenskom razdoblju n \ start {usklađeno} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {gdje:} \\ & \ lambda = \ tekst {stupanj ponderiranja smanjuje} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ tekst {vrijednost u vremenskom razdoblju} n \\ & u ^ 2 = \ tekst {vrijednost EWMA u vremenskom periodu} n \\ \ kraj {poravnano} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 gdje je: λ = stupanj ponderiranja padσ2 = vrijednost u vremenskom razdoblju nu2 = vrijednost EWMA u vremenskom razdoblju n

Rekurzivno znači da se današnje reference varijance (tj. Funkcija je varijance prethodnog dana). Ovu formulu možete pronaći i u proračunskoj tablici, a ona daje potpuno isti rezultat kao i izračun duga! Kaže: današnja varijanca (pod EWMA) jednaka je jučerašnjoj varijanci (ponderiranoj lambda) plus jučerašnjem kvadratnom povratu (težina jedna minus lambda). Primijetite kako samo dodajemo dva pojma: jučerašnju ponderiranu varijantu i jučerašnju ponderiranu vrijednost kvadrata.

Bez obzira na to, lambda je naš parametar zaglađivanja. Viša lambda (npr. Poput RiskMetrichovih 94%) ukazuje na sporije propadanje u nizu - relativno ćemo imati više podataka u nizu i oni će "padati" sporije. S druge strane, ako smanjimo lambdu, naznačujemo veće propadanje: utezi brže padaju i, kao izravni rezultat brzog raspada, koristi se manje podataka. (U proračunskoj je tablici lambda ulaz, pa možete eksperimentirati s njenom osjetljivošću).

Sažetak
Volatilnost je trenutačno standardno odstupanje zaliha i najčešća mjerila rizika. To je ujedno i kvadratni korijen varijance. Varijansu možemo mjeriti povijesno ili implicitno (podrazumijevana volatilnost). Kada se povijesno mjeri, najlakša metoda je jednostavna varijanca. Ali slabost jednostavne varijance je što svi prinosi dobivaju istu težinu. Stoga se suočavamo s klasičnim kompromisom: uvijek želimo više podataka, ali što više podataka imamo, to je naš izračun razrijeđen udaljenim (manje relevantnim) podacima. Eksponencijalno ponderirani pokretni prosjek (EWMA) poboljšava se na jednostavnoj varijanci dodjeljivanjem utega periodičnim prinosima. Čineći to, možemo oboje koristiti veliku veličinu uzorka, ali također dati veću težinu novijim prinosima.