Kontinuirano složeno zanimanje

Složena kamata je kamata izračunana na početnoj glavnici i na akumuliranu kamatu iz prethodnih razdoblja depozita ili zajma. Učinak složenog interesa ovisi o učestalosti.

Pretpostavimo godišnju kamatnu stopu od 12%. Ako godinu započnemo sa 100 USD, a složeni samo jednom, na kraju godine glavnica raste na 112 USD (100 USD x 1, 12 = 112 USD). Ako umjesto toga svaki mjesec spojimo 1%, na kraju godine stižemo s više od 112 USD. To jest, 100 $ x 1, 01 ^ 12 na 112, 68 $. (To je veće jer smo se složili češće.)

Kontinuirano sastavljeni vraća spoj, najčešće od svih. Kontinuirano spajanje je matematička granica koju složeni interesi mogu dostići. To je ekstremni slučaj pogoršanja, jer se većina kamata sastoji od mjesečne, tromjesečne ili polugodišnje.

Polugodišnje stope povrata

Prvo, pogledajmo potencijalno zbunjujuću konvenciju. Na tržištu obveznica mislimo na prinos (ekvivalent obveznice). To znači da ako obveznica daje 6% na polugodišnjem nivou, njen prinos u ekvivalentu obveznice je 12%.

Slika 1

Polugodišnji prinos jednostavno se udvostručuje. To je potencijalno zbunjujuće jer je efektivni prinos obveznice ekvivalentne prinosu od 12% 12, 36% (tj. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Umnožavanje polugodišnjeg prinosa samo je konvencija o imenovanju obveznica. Stoga, ako čitamo o 8% obveznici složenim polugodišnje, pretpostavljamo da se to odnosi na 4% polugodišnjeg prinosa.

Kvartalni, mjesečni i dnevni prinosi

Sada, razgovarajmo o višim frekvencijama. I dalje pretpostavljamo 12% godišnje tržišne kamatne stope. Prema konvencijama o imenovanju obveznica, to podrazumijeva 6% polugodišnje stope složenosti. Sada možemo izraziti tromjesečnu složenu stopu kao funkciju tržišne kamatne stope.

Slika 2

S obzirom na godišnju tržišnu stopu ( r), kvartalna složena stopa ( r _q ) dana je:

Dakle, za naš primjer, gdje godišnja tržišna stopa iznosi 12%, tromjesečna složena stopa iznosi 11.825%:

Slika 3

Slična se logika odnosi na mjesečno sažimanje. Mjesečna složena stopa ( r _m ) navedena je ovdje kao funkcija godišnje tržišne kamatne stope ( r):

Dnevna složena stopa ( d) kao funkcija tržišne kamatne stope ( r) dana je:

Kako djeluje kontinuirano spuštanje

Slika 4

Ako povećavamo frekvenciju spoja do njegove granice, kontinuirano se sastavljamo. Iako to možda nije praktično, kontinuirano složena kamatna stopa nudi izuzetno pogodna svojstva. Ispada da kontinuirano složene kamatne stope daju:

Ln () je prirodni zapisnik i u našem primjeru je kontinuirano složen stupanj:

Do istog mjesta dolazimo uzimajući prirodni zapis ovog omjera: završnu vrijednost podijeljenu s početnom vrijednošću.

Ovo posljednje je uobičajeno za računanje kontinuirano složenih povrata za zalihe. Na primjer, ako dionica skoči s 10 USD jedan dan na 11 USD sljedećeg dana, kontinuirani složeni dnevni povrat daje:

Što je tako super u vezi s kontinuirano složenom stopom (ili povratkom) koju ćemo označiti s r _c ">

Imajte na umu da je e eksponencijalna funkcija. Na primjer, ako započnemo sa 100 USD i kontinuirano se povećavamo na 8% tijekom tri godine, konačno bogatstvo daje:

Diskontiranje do sadašnje vrijednosti (PV) samo je složeno obrnuto, tako da se sadašnja vrijednost buduće vrijednosti (F) kontinuirano složen brzinom ( r _c ) daje:

Na primjer, ako ćete primiti 100 USD u tri godine po stopi od 6%, njegova sadašnja vrijednost izražena je sa:

Skaliranje kroz više razdoblja

Prikladno svojstvo kontinuirano složenog povrata je to što se smanjuje tijekom više razdoblja. Ako je povrat za prvo razdoblje 4%, a povrat za drugo razdoblje 3%, tada je dvo razdoblje povrat 7%. Razmislite da godinu započnemo sa 100 USD, što na kraju prve godine naraste na 120 USD, a na kraju druge godine na 150 USD. Stalno složeni prinosi su 18, 23%, odnosno 22, 31%.

Ako ih jednostavno zbrojimo, dobit ćemo 40, 55%. Ovo je povrat iz dva razdoblja:

Tehnički gledano, kontinuirani povrat je vremenski dosljedan. Dosljednost vremena tehnički je zahtjev za vrijednost s rizikom (VAR). To znači da ako je jednoprostorni povratak normalno raspodijeljena slučajna varijabla, želimo da se raspodijele i slučajne varijable s više perioda. Nadalje, višekratni kontinuirano složen povrat obično se raspodjeljuje (za razliku od, recimo, prostog povratnog postotka).

Donja linija

Godišnje kamatne stope možemo preformulirati u polugodišnje, tromjesečne, mjesečne ili dnevne kamatne stope (ili stope povrata). Najčešći složeni spoj je neprekidno miješanje, što zahtijeva od nas korištenje prirodnog dnevnika i eksponencijalne funkcije, koje se u financijama obično koriste zbog svojih poželjnih svojstava - lako se skalira tijekom više razdoblja i vrijeme je dosljedno.