Logormalna i normalna distribucija

Matematika koja stoji iza financija može biti pomalo zbunjujuća i zamorna. Srećom, većina računalnih programa obavlja složene proračune. Međutim, razumijevanje različitih statističkih pojmova i metoda, njihovog značenja i koji najbolje analiziraju ulaganja presudno je pri odabiru odgovarajuće sigurnosti i postizanja željenog utjecaja na portfelj.

Jedna je važna odluka izbor između normalne i lognormalne distribucije, a obje se često spominju u istraživačkoj literaturi. Prije odabira morate znati:

• Ono što jesu
• Koje razlike postoje među njima
• Kako utječu na odluke o investiranju

Normalno Versus Lognormal

U normalnoj i lognormalnoj raspodjeli koristi se statistička matematika za opisivanje vjerojatnosti da se neki događaj dogodi. Prebacivanje novčića lako je razumljiv primjer vjerojatnosti. Ako novčić bacate 1000 puta, kakva je raspodjela rezultata? Odnosno, koliko puta će sletjeti na glave ili repove? Postoji 50-postotna vjerojatnost da će sletjeti na glavu ili repove. Ovaj osnovni primjer opisuje vjerojatnost i raspodjelu rezultata.

Postoje mnoge vrste raspodjele, od kojih je jedna normalna ili raspodjela krivulja zvona. (Pogledajte sliku 1.)

U normalnoj distribuciji, 68% (34% + 34%) rezultata spada u jedno standardno odstupanje, a 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) u dva standardna odstupanja. U sredini (točka 0 na slici iznad) srednja vrijednost (srednja vrijednost u skupu), način rada (vrijednost koja se najčešće javlja) i srednja vrijednost (aritmetička vrijednost) su jednaki.

Lognormalna raspodjela razlikuje se od normalne raspodjele na nekoliko načina. Velika je razlika u njegovom obliku: normalna raspodjela je simetrična, dok lonormalna raspodjela nije. Budući da su vrijednosti u lognormalnoj distribuciji pozitivne, stvaraju krivulju s pravom kosom kosom. (Vidi sliku 2)

Ta je kosturnica važna za određivanje koje je distribucije pogodno za uporabu u odlučivanju o ulaganjima. Daljnja razlika je u tome što se vrijednosti korištene za dobivanje lognormalne distribucije normalno raspodjeljuju.

Razjasnimo primjerom. Ulagač želi znati očekivanu cijenu dionica u budućnosti. Budući da zalihe rastu s povećanom brzinom, ona mora koristiti faktor rasta. Kako bi izračunala moguće očekivane cijene, ona će uzeti trenutnu cijenu dionica i pomnožiti je s raznim stopama prinosa (koje su matematički izvedeni eksponencijalni faktori zasnovani na sastavljanju), za koje se pretpostavlja da se obično raspodjeljuju. Kad investitor kontinuirano objedinjuje prinose, ona stvara lognormalnu raspodjelu. Ova raspodjela je uvijek pozitivna, čak i ako su neke stope prinosa negativne, što će se dogoditi 50% vremena u normalnoj distribuciji. Buduća cijena dionica uvijek će biti pozitivna jer cijene dionica ne mogu pasti ispod 0 dolara.

Kada se koristi normalna verzalnormalna distribucija

Prethodni primjer pomogao nam je da dođemo do onoga što je investitorima doista važno: kada koristiti svaku metodu. Lognormal je izuzetno koristan pri analizi cijena dionica. Sve dok se pretpostavlja da se rabljeni faktor rasta normalno raspodjeljuje (kao što pretpostavljamo sa stopom prinosa), tada logička raspodjela ima smisla. Normalna distribucija ne može se koristiti za modeliranje cijena dionica jer ima negativnu stranu, a cijene dionica ne mogu pasti ispod nule.

Još jedna slična upotreba lognormalne distribucije je s cijenama opcija. Black-Scholes model - koristi se za cjenovne opcije - koristi lognormalnu distribuciju kao osnovu za utvrđivanje opcija opcija.

Suprotno tome, normalna distribucija djeluje bolje kad se izračunava ukupan povrat portfelja. Normalna raspodjela koristi se zato što je ponderirani prosječni povrat (proizvod težine vrijednosnog papira u portfelju i njegove stope povrata) tačniji u opisivanju stvarnog povrata portfelja (pozitivnog ili negativnog), posebno ako se ponderi razlikuju od a veliki stupanj. Slijedi tipičan primjer:

Težine portfeljnog udjela vraćaju ponderirani povrat

Zaliha A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Zaliha B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Ukupni ponderirani prosječni povrat = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Iako se logormalni povrat ukupnog učinka portfelja može brže izračunati u dužem vremenskom razdoblju, on ne uspijeva zabilježiti pojedinačne težine dionica, što može značajno izobličiti povrat. Također, portfeljski prinosi mogu biti pozitivni ili negativni, a logička distribucija neće uspjeti zabilježiti negativne aspekte.

Donja linija

Iako nam nijanse koje razlikuju normalnu i nenormalnu distribuciju mogu nam pobjeći većinu vremena, znanje o izgledu i karakteristikama svake distribucije pružit će uvid u to kako modelirati prinose portfelja i buduće cijene dionica.