Razumijevanje modela određivanja cijena binomnih opcija

Dogovoriti se točne cijene bilo kojeg trgovačkog sredstva je izazovno - zato se cijene dionica stalno mijenjaju. U stvarnosti, tvrtke teško mijenjaju svoje procjene svakodnevno, ali njihove cijene i procjene vrijednosti dionica mijenjaju se gotovo svake sekunde. Ova poteškoća u postizanju konsenzusa o ispravnom određivanju cijena bilo koje trgovačke imovine dovodi do kratkotrajnih arbitražnih prilika.

Ali puno uspješnog ulaganja svodi se na jednostavno pitanje današnje procjene - koja je danas prava cijena za očekivano buduće otplatu?

Vrednovanje binarnih opcija

Na konkurentnom tržištu, kako bi se izbjegle arbitražne mogućnosti, sredstva s identičnim strukturama otplate moraju imati istu cijenu. Procjena opcija bila je izazovan zadatak, a varijacije u cijenama vode do arbitražnih prilika. Black-Scholes ostaje jedan od najpopularnijih modela koji se koristi za cijene, ali ima ograničenja.

Model binomne opcije je još jedna popularna metoda koja se koristi za opcije određivanja cijena.

Primjeri

Pretpostavimo da na određenoj dionici postoji opcija poziva s trenutnom tržišnom cijenom od 100 USD. Opcija at-the-money (bankomat) ima štrajk cijenu od 100 USD s vremenom do isteka jedne godine. Postoje dva trgovca, Peter i Paula, koji su se složili da će cijena dionica ili porasti na 110 dolara ili pasti na 90 dolara u jednoj godini.

Oni se slažu o očekivanim razinama cijena u datom vremenskom okviru od jedne godine, ali ne slažu se s vjerojatnošću kretanja nagore ili prema dolje. Peter vjeruje da je vjerojatnost da će cijena dionica ići na 110 dolara 60%, dok Paula vjeruje da je 40%.

Na temelju toga, tko bi bio spreman platiti više cijene za poziv? Eventualno Peter, jer očekuje veliku vjerojatnost uspona.

Proračuni binomskih opcija

Dvije imovine, o kojima procjena ovisi, su opcija poziva i temeljni stalež. Među sudionicima postoji dogovor da se temeljna cijena dionica može prebaciti sa sadašnjih 100 na 110 ili 90 USD u jednoj godini, a nema drugih mogućih kretanja cijena.

U svijetu bez arbitraže, ako morate stvoriti portfelj koji se sastoji od ove dvije imovine, opcije poziva i temeljnih dionica, tako da bez obzira na to gdje ide osnovna cijena - 110 ili 90 dolara - neto povrat portfelja uvijek ostaje isti, Pretpostavimo da kupite "d" dionice osnovne i kratke opcije za jedan poziv da biste stvorili ovaj portfelj.

Ako cijena prijeđe na 110 USD, vaše dionice vrijede 110 USD * d, a na isplati kratkog poziva izgubit ćete 10 USD. Neto vrijednost vašeg portfelja bit će (110d - 10).

Ako cijena padne na 90 USD, vaše će dionice vrijediti $ 90 * d, a opcija istječe bezvrijedno. Neto vrijednost vašeg portfelja bit će (90d).

Ako želite da vrijednost vašeg portfelja ostane ista bez obzira na to gdje se nalazi osnovna cijena dionica, tada vrijednost vašeg portfelja treba ostati ista u oba slučaja:

h (d) −m = l (d) gdje je: h = najveća potencijalna temeljna cijena = broj temeljnih dionicam = novac izgubljen na isplati za kratki poziv = najniža potencijalna temeljna cijena \ početak {usklađeno} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {where:} \\ & h = \ text {Najveća potencijalna temeljna cijena} \\ & d = \ text {Broj temeljnih dionica} \\ & m = \ text {Novac izgubljen zbog otplate kratkog poziva} \\ & l = \ text {Najniža potencijalna temeljna cijena} \\ \ kraj {usklađeno} h (d) −m = l (d) gdje: h = najveći potencijalni temeljni iznos = Broj temeljnih dionicam = novac izgubljen kratkim pozivom payoffl = Najniža potencijalna temeljna cijena

Dakle, ako kupite pola udjela, pod pretpostavkom da su moguće djelomične kupnje, uspjet ćete stvoriti portfelj tako da njegova vrijednost ostane ista u oba moguća stanja unutar određenog vremenskog okvira od jedne godine.

110d − 10 = 90dd = 12 \ početak {poravnano} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ kraj {poravnano} 110d − 10 = 90dd = 21

Vrijednost ovog portfelja, naznačena s (90d) ili (110d - 10) = 45, jedna je godina prijenosa. Da bi se izračunala njegova sadašnja vrijednost, ona se može diskontirati neto stopom povrata (pretpostavljajući 5%).

Sadašnja vrijednost = 90d × e (−5% × 1 godina) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ početak {poravnanje} \ tekst {sadašnja vrijednost} & = 90d \ puta e ^ {(-5 \% \ puta 1 \ tekst {Godina})} \\ & = 45 \ puta 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ kraj {poravnato} Sadašnja vrijednost = 90d × e (−5% × 1 godina) = 45 × 0.9523 = 42.85

Budući da se portfelj trenutno sastoji od ½ udjela temeljnog kapitala (s tržišnom cijenom od 100 USD) i jednim kratkim pozivom, trebao bi biti jednak sadašnjoj vrijednosti.

12 × 100−1 × Cijena poziva = 42, 85 USDCall Price = 7, 14 USD, tj. Današnja cijena poziva \ begin {usklađeno} & \ frac {1} {2} \ puta 100 - 1 \ puta \ tekst {Cijena poziva} = \ 42, 85 $ \\ & \ tekst {Cijena poziva} = \ 7, 14 $ \ tekst {, tj. Današnja cijena poziva} \\ \ kraj {poravnano} 21 × 100−1 × Cijena poziva = 42, 85 USDCall Call = 7, 14 USD, tj. današnja cijena poziva

Budući da se to temelji na pretpostavci da vrijednost portfelja ostaje ista, bez obzira na to gdje osnovna cijena ide, vjerojatnost pomicanja prema gore ili pomaka prema dolje ne igra nikakvu ulogu. Portfelj ostaje bez rizika, bez obzira na osnovne promjene kretanja cijena.

U oba slučaja (pretpostavlja se da se kreću prema 110 USD i prema dolje na 90 USD) vaš portfelj je neutralan prema riziku i ostvaruje prinos bez rizika.

Dakle, i trgovci, Peter i Paula, bili bi spremni platiti iste 7, 14 USD za ovu opciju poziva, unatoč različitoj percepciji vjerojatnosti povećanja (60% i 40%). Njihove pojedinačno uočene vjerojatnosti nisu bitne za procjenu opcija.

Pretpostavljajući da su pojedinačne vjerojatnosti važne, mogućnosti arbitraže su se možda same predstavile. U stvarnom svijetu takve mogućnosti arbitraže postoje uz manje razlike u cijenama i nestaju u kratkom roku.

Ali gdje je sve hipertibilnost u svim tim proračunima važan i osjetljiv faktor koji utječe na cijene opcija?

Hlapljivost je već uključena u prirodu definicije problema. Pod pretpostavkom da su dvije (i samo dvije - otuda naziv „binomne“) razine cijena (110 USD i 90 USD), volatilnost se podrazumijeva u ovoj pretpostavci i uključuje se automatski (10% u bilo kojem slučaju u ovom primjeru).

Black-Scholes

No, je li ovaj pristup ispravan i koherentan s uobičajenim cijenama Black-Scholesa? Rezultati kalkulatora mogućnosti (ljubaznošću OIC-a) usko se podudaraju s izračunatom vrijednošću:

Nažalost, stvarni svijet nije tako jednostavan kao "samo dvije države". Zalihe mogu dostići nekoliko razina cijena prije isteka vremena.

Je li moguće uključiti sve te više razina u model binomnih cijena koji je ograničen na samo dvije razine ">

Jednostavna matematika

Da biste generalizirali ovaj problem i rješenje:

"X" je trenutna tržišna cijena dionica, a "X * u" i "X * d" su buduće cijene za kretanje prema gore i dolje "t" godinama kasnije. Faktor "u" bit će veći od jedan jer označava pomicanje prema gore, a "d" će ležati između nule i jednog. Za gornji primjer, u = 1.1 i d = 0.9.

Isplate opcije poziva su "P _up " i "P _dn " za poteze prema gore i dolje u trenutku isteka.

Ako sastavite portfelj "s" dionica kupljenih danas i skratite jednu mogućnost poziva, nakon vremena "t":

VUM = s × X × u −Pupada: VUM = Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema gore \ početak {poravnanje} & \ tekst {VUM} = s \ puta X \ puta u - P_ \ tekst {gore} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema gore} \\ \ kraj {usklađeno} VUM = s × X × u − Pup gdje: VUM = Vrijednost portfelja u slučaju pomaka nagore

VDM = s × X × d −Dolje: VDM = Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema dolje \ početak {poravnanje} & \ tekst {VDM} = s \ puta X \ puta d - P_ \ tekst {dolje} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Vrijednost portfelja u slučaju pomicanja prema dolje} \\ \ kraj {poravnanje} VDM = s × X × d − Pdown gdje: VDM = Vrijednost portfelja u slučaju pada

Za slično vrednovanje u oba slučaja kretanja cijena:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ puta X \ puta u - P_ \ tekst {up} = s \ puta X \ puta d - P_ \ tekst {dolje} s × X × u− Pup = e x x x d-Pdown

s = Pup-PdownX × (u − d) = Broj dionica koje treba kupiti za = portfelj bez rizika \ početi {poravnati} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ tekst {dolje} } {X \ puta (u - d)} \\ & = \ tekst {Broj dionica koje treba kupiti za} \\ & \ phantom {=} \ tekst {portfelj bez rizika} \\ \ kraj {usklađeni} s = X × (u − d) Pup -Pdown = Broj dionica za kupnju = portfelj bez rizika

Buduća vrijednost portfelja na kraju "t" godina bit će:

U slučaju pomicanja gore = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ start {usklađeno} \ text {U slučaju kretanja prema gore} & = s \ puta X \ puta u - P_ \ tekst {up} \\ & = \ frac {P_ \ tekst {up} - P_ \ tekst {dolje}} {u - d} \ puta u - P_ \ tekst {gore} \\ \ kraj {poravnano} U slučaju Pomicanje prema gore = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

U slučaju pomicanja prema dolje = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ početak {poravnanje} \ text {U slučaju pomicanja prema dolje} & = s \ puta X \ puta d - P_ \ tekst {dolje} \\ & = \ frac {P_ \ tekst {gore} - P_ \ tekst {dolje}} {u - d} \ puta d - P_ \ tekst {dolje} \\ \ kraj {poravnano} U slučaju Pomicanje prema dolje = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Današnju vrijednost možete dobiti diskontiranjem s netriziranom stopom povrata:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] gdje je: PV = vrijednost današnjeg vrijednosti = stopa povratka = vrijeme, u godinama \ početak {poravnanje} & \ tekst {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {dolje}} {u - d} \ puta u - P_ \ tekst {gore} \ desno] \\ & \ textbf { gdje je:} \\ & \ tekst {PV} = \ tekst {vrijednost sadašnjeg dana} \\ & r = \ tekst {stopa prinosa} \\ & t = \ tekst {Vrijeme, u godinama} \\ \ kraj {usklađeno} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] gdje je: PV = vrijednost današnjeg vrijednosti = stopa povratka = vrijeme, u godinama

To bi trebalo odgovarati portfeljnom posjedovanju "s" dionica po cijeni X, a vrijednost kratkog poziva "c" (današnje držanje (s * X - c) treba izjednačiti s ovim izračunom.) Rješavanje za "c" konačno daje kao:

Napomena: Ako je premija poziva kratka, to bi trebao biti dodatak portfelju, a ne oduzimanje.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ puta [(e (-rt) - d) \ puta P_ \ tekst {up} + (u - e (-rt)) \ puta P_ \ tekst {dolje}] c = u-de (−rt) × [(e (-rt) -d) T Pup + (u-e (-rt)) × Pdown]

Drugi način za pisanje jednadžbe je preuređenjem:

Uzimajući "q" kao:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

Tada jednadžba postaje:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ puta (q \ puta P_ \ tekst {up} + (1 - q) \ puta P_ \ tekst {dolje}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Preuređenje jednadžbe u smislu "q" ponudilo je novu perspektivu.

Sada možete protumačiti "q" kao vjerojatnost pomicanja prema gore (jer "q" je povezan s P _up, a "1-q" je povezan s P _dn ). Općenito, jednadžba predstavlja današnju cijenu opcije, diskontiranu vrijednost njezinog otplate po isteku roka.

Ovaj "Q" je drugačiji

Kako se ta vjerojatnost "q" razlikuje od vjerojatnosti pomicanja prema gore ili silaznog pomaka donjeg dijela ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × drugdje: VSP = Vrijednost dionica u vremenu t \ početak {usklađeno} & \ text {VSP} = q \ puta X \ puta u + (1 - q) \ puta X \ puta d \\ & \ textbf {gdje:} \\ & \ tekst {VSP} = \ tekst {Vrijednost cijene dionice u vremenu} t \\ \ kraj {poravnano} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × drugdje: VSP = Vrijednost dionica u vremenu t

Zamjenom vrijednosti „q“ i preuređivanjem, cijena dionica u trenutku „t“ dolazi do:

Cijena dionice = e (rt) × X \ početak {poravnanje} & \ tekst {Cijena dionice} = e (rt) \ puta X \\ \ kraj {usklađeno} Cijena zaliha = e (rt) × X

U ovom pretpostavljenom svijetu dviju država, cijena dionica jednostavno raste po prinosu bez rizika, baš poput sredstva bez rizika, i stoga ostaje neovisna o bilo kojem riziku. Ulagači su ravnodušni prema riziku prema ovom modelu, tako da to predstavlja model neutralan prema riziku.

Vjerojatnost „q” i „(1-q)” poznata su kao vjerojatnosti neutralne prema riziku, a metoda vrednovanja poznata je kao model procjene neutralan prema riziku.

Primjer scenarija ima jedan važan zahtjev - buduća struktura isplativanja potrebna je s preciznošću (razina 110 i 90 USD). U stvarnom životu takva jasnoća glede stupnjevanih razina cijena nije moguća; radije se cijena kreće nasumično i može se namiriti na više razina.

Da biste primjer dodatno proširili, pretpostavite da su moguće razine u dva koraka. Znamo konačne isplate drugog koraka i danas moramo cijeniti opciju (u početnom koraku):

Pomičući se unatrag, srednja procjena prvog koraka (pri t = 1) može se izvršiti korištenjem konačnih isplata u drugom koraku (t = 2), zatim korištenjem izračunatih procjena prvog koraka (t = 1), današnjeg vrednovanja (t = 0) ovim proračunima se može postići.

Da biste dobili opcijsku cijenu s brojem dva, koriste se isplate od četiri i pet. Da biste dobili cijene za broj tri, koristi se isplata u pet i šest. Konačno, izračunati otplati na dva i tri koriste se za dobivanje cijena kod broja jedan.

Imajte na umu da ovaj primjer pretpostavlja isti faktor za pomicanje gore (i dolje) u oba koraka - u i d se primjenjuju složeno.

Primjer rada

Pretpostavimo da je put opcija sa štrajknom cijenom od 110 USD trenutno trgovanje na 100 USD, a istječe za godinu dana. Godišnja stopa bez rizika je 5%. Očekuje se da će se cijena povećavati za 20% i smanjivati ​​za 15% svakih šest mjeseci.

Ovdje je u = 1, 2 i d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

koristeći gore izvedenu formulu od

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

dobivamo q = 0, 35802832

vrijednost put opcije u točki 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) gdje je: p = Cijena opcije stavke \ početak {poravnano} & p_2 = e (-rt) \ puta (p \ puta P_ \ tekst {upup} + (1 - q) P_ \ tekst {updn}) \\ & \ textbf {gdje:} \\ & p = \ tekst {Cijena opcije stavke} \\ \ kraj {poravnanje} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) gdje je: p = Cijena opcije stavke

U P _{upup upingu}, temeljna vrijednost će biti = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 $, što vodi do P _upup = zero

U P _updn stanju, temeljna vrijednost biti će = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD što vodi do P _updn = 8 USD

U uvjetima _{d dnn}, podloga će biti = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD koja vodi do P _dndn = 37, 75 USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Slično tome, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ puta (q \ puta p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1-q) p3)

I stoga vrijednost put opcije, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Slično tome, binomni modeli omogućuju vam da prekinete cijelo trajanje opcije na daljnje rafiniranje više koraka i nivoa. Pomoću računalnih programa ili proračunskih tablica možete raditi korak unatrag kako biste dobili sadašnju vrijednost željene opcije.

Još jedan primjer

Pretpostavimo da je putna opcija europskog tipa s istekom roka od devet mjeseci, štrajk cijena od 12 USD i trenutna osnovna cijena od 10 USD. Pretpostavimo da postoji stopa rizika od 5% za sva razdoblja. Pretpostavimo da svaka tri mjeseca, osnovna cijena može se kretati 20% gore ili dolje, dajući nam u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 i binomno stablo u tri koraka.

Crvena označava osnovne cijene, dok plava označava isplatu putnih opcija.

Vjerojatno "q" vjerojatnost izračunava se na 0, 531446.

Koristeći gornju vrijednost „q“ i vrijednosti otplate pri t = devet mjeseci, odgovarajuće vrijednosti pri t = šest mjeseci izračunavaju se kao:

Nadalje, koristeći ove izračunate vrijednosti pri t = 6, vrijednosti pri t = 3 i t = 0 su:

To daje današnjoj vrijednosti put opcije 2, 18 USD, što je prilično blizu onome što biste mogli izračunati koristeći Black-Scholes model (2, 30 USD).

Donja linija

Iako upotreba računalnih programa može olakšati ove intenzivne proračune, predviđanje budućih cijena ostaje veliko ograničenje binomnih modela za određivanje cijena opcija. Što su vremenski intervali finiji, to je teže predvidjeti isplate na kraju svakog razdoblja s velikom preciznošću.

No, fleksibilnost za uključivanje promjena koje se očekuju u različitim razdobljima je plus, što ga čini prikladnim za određivanje cijene američkih opcija, uključujući procjene rane vježbe.

Vrijednosti izračunate pomoću binomnog modela usko se podudaraju s onima izračunatim iz drugih najčešće korištenih modela poput Black-Scholes, što ukazuje na korisnost i točnost binomnih modela za određivanje cijena opcija. Modeli binomnih cijena mogu se razviti prema preferencijama trgovca i mogu poslužiti kao alternativa Black-Scholesu.