Optimizirajte svoj portfelj uobičajenom distribucijom

Normalna raspodjela je distribucija vjerojatnosti koja sve svoje vrijednosti iscrtava simetrično, a većina rezultata nalazi se oko srednje vjerojatnosti.

Normalna (zvonasta krivulja) raspodjela

Skupovi podataka (poput visine od 100 ljudi, ocjene koje je dobilo 45 učenika u razredu itd.) Imaju tendenciju da imaju mnoge vrijednosti na istoj točki podataka ili unutar istog raspona. Ova raspodjela točaka podataka naziva se normalna ili raspodjela krivulja zvona.

Na primjer, u grupi od 100 pojedinaca, 10 može biti niži od 5 stopa, 65 može stajati između 5 i 5, 5 stopa, a 25 biti iznad 5, 5 stopa. Ova distribucija ograničena na raspon može se prikazati na sljedeći način:

Slično tome, podatkovne točke crtane u grafovima za bilo koji skup podataka mogu nalikovati različitim vrstama distribucije. Tri najčešća su lijevo poravnana, desno usmjerena i rastavljena raspodjela:

Imajte na umu crvenu liniju trendova u svakom od tih grafikona. To otprilike ukazuje na trend distribucije podataka. Prva, "LEFT Aligled usklađena distribucija", upućuje na to da većina podatkovnih točaka pada u donjem rasponu. U drugom grafikonu "PRAVA usklađena distribucija" većina podataka nalazi se u gornjem dijelu raspona, dok posljednja, "Jumbled Distribution", predstavlja miješani skup podataka bez jasnog trenda.

Ima puno slučajeva u kojima raspodjela podatkovnih točaka ima tendenciju oko središnje vrijednosti, a taj graf prikazuje savršenu normalnu raspodjelu - jednako uravnoteženu na obje strane, s najvećim brojem podatkovnih točaka koncentriranih u središtu.

Evo savršenog, normalno distribuiranog skupa podataka:

Ovdje je središnja vrijednost 50 (koja ima najveći broj podatkovnih točaka), a distribucija se ravnomjerno smanjuje prema krajnjim krajnjim vrijednostima 0 i 100 (koje imaju najmanji broj podataka). Normalna raspodjela je simetrična oko središnje vrijednosti s polovinom vrijednosti sa svake strane.

Mnogo primjera iz stvarnog života odgovara raspodjeli krivulje zvona:

• Bacite pošten novac mnogo puta (recimo 100 puta ili više) i dobit ćete uravnoteženu normalnu raspodjelu glava i repova.
• Rolajte par pravih kockica mnogo puta (recimo 100 puta ili više) i rezultat će biti uravnotežena, normalna distribucija usredotočena na broj 7 i ravnomjerno sužena prema krajnjim vrijednostima 2 i 12.
• Visina pojedinaca u grupi znatnih veličina i ocjena koje dobivaju ljudi iz klase slijede uobičajene obrasce distribucije.
• U financijama promjene u zapisničkim vrijednostima Forex stope, indeksi cijena i cijene dionica pretpostavljaju se normalno raspodjeljuju.

Rizik i povrat

Svako ulaganje ima dva aspekta: rizik i povrat. Ulagači traže najmanji mogući rizik za najveći mogući povrat. Normalna raspodjela kvantificira ta dva aspekta srednjom za povrat i standardno odstupanje za rizik. (Za više informacija pogledajte „Analiza srednje varijance“.)

Srednja ili očekivana vrijednost

Posebna prosječna promjena cijene dionice mogla bi biti 1, 5% na dnevnoj bazi - što znači da se u prosjeku poveća za 1, 5%. Ovu srednju vrijednost ili očekivanu vrijednost koja označava povrat može se postići izračunavanjem prosjeka na dovoljno velikom skupu podataka koji sadrži povijesne dnevne promjene cijena te zalihe. Što je viša srednja vrijednost, to je bolje.

Standardno odstupanje

Standardno odstupanje označava iznos za koji vrijednosti u prosjeku odstupaju od prosjeka. Što je standardno odstupanje veće, to je investicija rizičnija, jer dovodi do više nesigurnosti.

Evo grafičkog prikaza istog:

Dakle, grafički prikaz normalne raspodjele kroz njezinu srednju i standardnu ​​devijaciju omogućava reprezentaciju i povrata i rizika unutar jasno definiranog raspona.

To pomaže da se zna (i sa sigurnošću se utvrdi) da ako neki skup podataka slijedi uobičajeni obrazac distribucije, njegova sredina će nam omogućiti da znamo što očekujemo, a njegovo standardno odstupanje omogućit će nam da znamo da oko 68% vrijednosti bit će unutar 1 standardnog odstupanja, 95% unutar 2 standardna odstupanja i 99% vrijednosti će biti unutar 3 standardna odstupanja. Skup podataka s prosjekom 1, 5 i standardnim odstupanjem od 1 mnogo je rizičniji od drugog skupa podataka koji ima srednju vrijednost 1, 5 i standardnu ​​devijaciju 0, 1.

Poznavanje ovih vrijednosti za svaku odabranu imovinu (tj. Dionice, obveznice i fondovi) učinit će investitora svjesnim očekivanih povrata i rizika.

Lako je primijeniti ovaj koncept i predstavljati rizik i povrat jedne pojedinačne dionice, obveznice ili fonda. Ali može li se to proširiti na portfelj više sredstava ">

Pojedinci počinju trgovati kupnjom pojedinačnih dionica ili obveznica ili ulaganjem u uzajamni fond. Postupno, oni imaju tendenciju da povećavaju udjele i kupuju više dionica, fondova ili druge imovine, stvarajući tako portfelj. U ovom inkrementalnom scenariju, pojedinci grade svoj portfelj bez strategije ili mnogo predviđanja. Profesionalni menadžeri fondova, trgovci i tvorci tržišta slijede sustavnu metodu za izgradnju svog portfelja koristeći matematički pristup nazvan moderna teorija portfelja (MPT) koji se temelji na konceptu "normalne distribucije".

Moderna teorija portfelja

Suvremena teorija portfelja (MPT) nudi sustavni matematički pristup koji ima za cilj povećati očekivani povrat portfelja za određeni iznos portfeljskog rizika odabirom udjela različitih sredstava. Alternativno, također nudi minimiziranje rizika za određenu razinu očekivanog povrata.

Da bi se postigao ovaj cilj, imovina koja će biti uključena u portfelj ne bi trebala biti odabrana samo na temelju njihovih vlastitih individualnih zasluga, već na temelju načina na koji će svaka imovina poslovati u odnosu na ostalu imovinu u portfelju.

Ukratko, MPT definira kako najbolje postići diverzifikaciju portfelja za najbolje moguće rezultate: maksimalni povrat za prihvatljivu razinu rizika ili minimalan rizik za željenu razinu povrata.

Građevni blokovi

MPT je bio tako revolucionaran koncept kad je uvedeno da su njegovi izumitelji osvojili Plemenitu nagradu. Ova je teorija uspješno pružila matematičku formulu za vođenje diverzifikacije u investiranju.

Diverzifikacija je tehnika upravljanja rizikom, koja uklanja rizik "sva jaja u jednoj košarici" ulaganjem u neskladne zalihe, sektore ili klase imovine. U idealnom slučaju, pozitivan učinak jedne imovine u portfelju poništava negativne rezultate ostale imovine.

Da bi se uzeo prosječni prinos portfelja koji ima n različita sredstva, izračunava se proporcionalno ponderirana kombinacija povrata sastojaka imovine.

Zbog prirode statističkih izračuna i normalne raspodjele, ukupni povrat portfelja (R _p ) izračunava se kao:

Rp = ΣwiRiR_p = \ suma {w_iR_i} Rp = Σwi Ri

Zbroj (∑), gdje je w _i proporcionalna težina imovine i u portfelju, R _i je povrat (prosjek) imovine i.

Rizik portfelja (ili standardno odstupanje) je funkcija korelacije uključenih sredstava, za sve parove imovine (u odnosu na svaki drugi u paru).

Zbog prirode statističkih izračuna i normalne distribucije, ukupni portfeljski rizik (Std-dev) _p izračunava se kao:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ početak {poravnano} & \ lijevo (Std-dev \ desno) _p = \ \ & sqrt \ lijevo [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ lijevo (std-dev \ desno) _i \ lijevo (std-dev \ desno) _j \ lijevo (cor-cof_ {ij} \ desno) \ desno] \\ \ kraj {usklađeno} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)]

Ovdje je cor-cof koeficijent korelacije između povrata imovine i i j, a sqrt je kvadratni korijen.

Ovo vodi računa o relativnoj učinkovitosti svake imovine u odnosu na drugu.

Iako se ovo čini matematički složenim, ovdje korišteni jednostavan koncept uključuje ne samo standardna odstupanja pojedinih sredstava, već i srodna u odnosu jedna na drugu.

Dobar primjer dostupan je ovdje sa Sveučilišta u Washingtonu.

Brzi primjer MPT-a

Kao misaoni eksperiment, zamislimo da smo portfeljni menadžer kojem je dodijeljen kapital i zadužen je koliko kapitala treba rasporediti na dvije raspoložive imovine (A&B), tako da se očekivani prinos maksimizira i smanji rizik.

Na raspolaganju su nam i sljedeće vrijednosti:

R _a = 0, 175

_Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 151

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

Počevši s jednakom raspodjelom 50-50 za svaku aktivu A&B, R _p izračunava na 0, 151, a (Std-dev) _p dolazi na 0, 1323. Jednostavna usporedba govori nam da su za ta dva portfelja imovine povrat i rizik na sredini između vrijednosti svake imovine.

Međutim, naš je cilj poboljšati povrat portfelja iznad pukog prosjeka bilo koje pojedinačne imovine i smanjiti rizik tako da bude niži od onog pojedinačne imovine.

Uzmimo sada 1, 5 udjela raspodjele kapitala u imovini A i -0, 5 poziciji za raspodjelu kapitala u imovini B. (Negativna alokacija kapitala znači skraćivanje primljenog kapitala i kapitala koristi se za kupnju viška druge imovine s pozitivnom raspodjelom kapitala. U drugim riječima, skraćujemo dionicu B za 0, 5 puta kapitala i taj novac koristimo za kupovinu dionica A za iznos od 1, 5 puta kapitala.)

Koristeći ove vrijednosti, dobivamo R _p kao 0, 1604, a (Std-dev), _p, 0, 4005.

Slično tome, možemo nastaviti koristiti različite raspoređivanje ponderiranja za A&B i dolaziti do različitih skupova Rp i (Std-dev) p. Prema željenom povratu (Rp), može se odabrati najprihvatljivija razina rizika (std-dev) p. Alternativno, za željenu razinu rizika, može se odabrati najbolji dostupni povrat portfelja. Bilo kako bilo, kroz ovaj matematički model teorije portfelja moguće je ostvariti cilj stvaranja učinkovitog portfelja sa željenom kombinacijom rizika i povrata.

Upotreba automatiziranih alata omogućava jednostavno i glatko otkrivanje najboljih mogućih dodijeljenih proporcija bez potrebe za dužim ručnim proračunima.

Učinkovita granica, Model određivanja kapitalne imovine (CAPM) i cijene imovine korištenjem MPT-a također se razvijaju iz istog uobičajenog modela distribucije i produžetak su za MPT.

Izazovi MPT (i temeljne normalne distribucije)

Nažalost, nijedan matematički model nije savršen i svaki ima nedostatke i ograničenja.

Osnovna pretpostavka da povrat cijena dionica slijedi normalnu distribuciju sama se uvijek iznova dovodi u pitanje. Dovoljan je empirijski dokaz o slučajevima gdje se vrijednosti ne pridržavaju pretpostavljene normalne raspodjele. Utemeljenje složenih modela na takvim pretpostavkama može dovesti do rezultata s velikim odstupanjima.

Dalje prema MPT, izračuni i pretpostavke o koeficijentu korelacije i kovarijaciji koji ostaju fiksni (na temelju povijesnih podataka) ne moraju nužno biti istiniti za buduće očekivane vrijednosti. Na primjer, obvezničke i burze pokazale su savršenu korelaciju na tržištu Velike Britanije od 2001. do 2004., gdje su prinosi od obje imovine istovremeno padali. U stvarnosti, obrnuto je promatrano kroz dugačka povijesna razdoblja prije 2001. godine.

Ponašanje investitora se ne uzima u obzir u ovom matematičkom modelu. Porezi i transakcijski troškovi su zanemareni, iako se podrazumijeva djelimična alokacija kapitala i mogućnost skraćivanja imovine.

U stvarnosti, nijedna od ovih pretpostavki ne može se obistiniti, što znači da se ostvareni financijski prinosi mogu značajno razlikovati od očekivanog profita.

Donja linija

Matematički modeli pružaju dobar mehanizam za kvantificiranje nekih varijabli s jednostrukim praćenim brojevima. Ali zbog ograničenja pretpostavki, modeli mogu uspjeti.

Normalna raspodjela, koja čini osnovu teorije portfelja, ne mora se nužno primjenjivati ​​na dionice i druge obrasce cijena financijske imovine. Teorija portfelja sama po sebi ima puno pretpostavki koje bi trebalo kritički ispitati prije donošenja važnih financijskih odluka.