Raščlanjivanje binomnog modela na vrijednost opcije

U financijskom svijetu, modeli vrednovanja Black-Scholesa i binomne opcije dva su najvažnija koncepta moderne financijske teorije. Oba se koriste za vrednovanje opcije, a svaka ima svoje prednosti i nedostatke.

Neke od osnovnih prednosti korištenja binomnog modela su:

• prikaz s više razdoblja
• prozirnost
• sposobnost uključivanja vjerojatnosti

U ovom ćemo članku istražiti prednosti korištenja binomnog modela umjesto Black-Scholes modela i dati nekoliko osnovnih koraka za razvoj modela i objašnjenje kako se koristi.

Više periodični prikaz

Binomni model daje višestruki prikaz osnovne cijene imovine kao i cijene opcije. Za razliku od Black-Scholes modela, koji daje numerički rezultat na temelju ulaza, binomni model omogućava izračun imovine i opcije za više razdoblja, uz raspon mogućih rezultata za svako razdoblje (vidi dolje).

Prednost ovog prikaza u više razdoblja je što korisnik može vizualizirati promjenu cijene imovine iz razdoblja u razdoblje i procijeniti opciju na temelju odluka donesenih u različitim vremenskim razdobljima. Za opciju sa sjedištem u SAD-u, koja se može iskoristiti u bilo koje vrijeme prije isteka roka, binomski model može pružiti uvid u to kada se opcija može upotrijebiti i kada bi se trebala održavati na duža razdoblja. Gledajući binomno stablo vrijednosti, trgovac može unaprijed odrediti kada se može dogoditi odluka o vježbi. Ako opcija ima pozitivnu vrijednost, postoji mogućnost vježbanja dok, ako opcija ima vrijednost manju od nule, trebala bi se zadržati na duže vremenske periode.

prozirnost

Usko povezana s pregledom u više razdoblja je sposobnost binomnog modela da pruži transparentnost osnovnoj vrijednosti imovine i opciji s vremenom. Black-Scholes model ima pet ulaza:

1. Stopa bez rizika
2. Cijena vježbanja
3. Trenutna cijena imovine
4. Vrijeme do zrelosti
5. Podrazumijevana volatilnost cijene imovine

Kad se ove podatkovne točke unesu u Black-Scholes model, model izračunava vrijednost za opciju, ali utjecaji tih faktora ne otkrivaju se periodično. S binomnim modelom, trgovac može vidjeti promjenu osnovne cijene imovine iz razdoblja u razdoblje i odgovarajuću promjenu cijene opcije.

Uključujući vjerojatnosti

Osnovna metoda izračuna modela binomne opcije je upotreba iste vjerojatnosti svakog razdoblja za uspjeh i neuspjeh sve dok opcija ne istekne. Međutim, trgovac može ugraditi različite vjerojatnosti za svako razdoblje na temelju novih informacija dobivenih kako vrijeme prolazi.

Na primjer, postoji vjerojatnost 50/50 da se osnovna cijena imovine u jednom razdoblju može povećati ili smanjiti za 30 posto. Za drugo razdoblje, međutim, vjerojatnost povećanja osnovne cijene imovine može narasti na 70/30. Na primjer, ako investitor procjenjuje naftnu bušotinu, taj investitor nije siguran koja je vrijednost te bušotine, ali postoji vjerojatnost da će cijena poskupjeti 50/50. Ako cijene nafte u razdoblju 1 porastu, što ulje čini vrednijim, a tržišni temelji sada ukazuju na kontinuirana povećanja cijena nafte, vjerojatnost daljnjeg aprecijacije cijena sada može biti 70 posto. Binomni model omogućuje tu fleksibilnost; model Black-Scholes ne.

Razvijanje modela

Najjednostavniji binomni model imat će dva očekivana povrata čija vjerojatnost iznosi i do 100 posto. U našem primjeru postoje dva moguća ishoda za naftnu bušotinu u svakom trenutku. Složenija verzija mogla bi imati tri ili više različitih ishoda, od kojih je svaki vjerojatnost pojave.

Da bismo izračunali prinose po razdoblju počevši od nule (sada), moramo odrediti vrijednost temeljne imovine jedno razdoblje od sada. U ovom primjeru pretpostavljamo sljedeće:

• Cijena osnovne imovine (P): 500 USD
• Cijena vježbe s opcijom poziva (K): 600 USD
• Stopa bez rizika za razdoblje: 1 posto
• Promjena cijena za svako razdoblje: 30 posto prema gore ili prema dolje

Cijena osnovne imovine iznosi 500 USD, a u Periodu 1 može iznositi i 650 ili 350 USD. To bi bilo ekvivalent povećanju ili smanjenju od 30 posto u jednom razdoblju. Budući da cijena vježbanja opcija poziva koju držimo iznosi 600 USD, ako dotična imovina završi manja od 600 USD, vrijednost opcije poziva bila bi jednaka nuli. S druge strane, ako osnovna imovina premašuje vježbenu cijenu od 600 USD, vrijednost opcije poziva bila bi razlika između cijene temeljne imovine i cijene vježbanja. Formula za ovo izračunavanje je [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] gdje je: P = Cijena osnovnog sredstvaK = Cijena opcije vježbanja opcije \ započeti {poravnati} & \ max {\ lijevo [\ lijevo (PK \ desno), 0 \ desno]}} \ \ \\ & \ textbf {gdje:} \\ & P = \ tekst {Cijena osnovnog sredstva} \\ & K = \ tekst {Opcija poziva cijena ostvarivanja cijene} \\ \ kraj {usklađeno} max [(P − K), 0] gdje je: P = cijena osnovnog sredstvaK = cijena vježbe s opcijom poziva

Pretpostavimo da postoji 50 posto vjerojatnosti da se popnete i da je 50 posto vjerojatnost pada. Koristeći vrijednosti Perioda 1 kao primjer, to se izračunava kao

max [(650 $ - 600 $), 0] ∗ 0, 5 + maks. [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ početak {poravnanje} & \ max {\ lijevo [\ lijevo (\ 650 $ - \ 600 $ \ desno), 0 \ desno]} * 0, 5+ \ max {\ lijevo [\ lijevo (\ 350 $ - \ $ 600 \ desno), 0 \ desno]} * 0, 5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ 25 $ \\ \ kraj {poravnano} max [($ 650 - 600 $), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350 - 600 $), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

Da bismo dobili trenutnu vrijednost opcije poziva, moramo popustiti 25 USD u razdoblju 1 natrag u Period 0, što je

$ 25 / (1 + 1%) = 24, 75 USD = 25 $ \ \ lijevo (1 + 1 \% \ desno) = \ 24, 75 USD 25 / (1 + 1%) = 24, 75 USD

Sada možete vidjeti da će se, ukoliko se vjerojatnosti izmijene, promijeniti i očekivana vrijednost temeljnog sredstva. Ako vjerojatnost treba promijeniti, ona se može mijenjati za svako naredno razdoblje i ne mora nužno ostati ista tijekom cijelog razdoblja.

Binomni model može se lako proširiti na više razdoblja. Iako model Black-Scholes može izračunati rezultat produženog roka trajanja, binomni model proširuje točke odlučivanja na više razdoblja.

Koristi za binomni model

Uz uporabu kao metode za izračun vrijednosti opcije, binomni model može se koristiti i za projekte ili investicije s visokim stupnjem nesigurnosti, odluke o kapitalnom proračunu i raspodjeli resursa, te projekte s više razdoblja ili ugrađena opcija za nastavak ili napuštanje projekta u određenim trenucima.

Jednostavni primjer je projekt koji podrazumijeva bušenje nafte. Neizvjesnost ove vrste projekta je li zemlja koja se izbušuje uopće ima nafte, kolika je količina ulja koja se može probušiti, ako se nađe nafta i cijena po kojoj se ulje može prodati nakon ekstrakcije.

Model binomne opcije može pomoći u donošenju odluka u svakoj točki projekta bušenja nafte. Na primjer, pretpostavimo da se odlučimo za bušenje, ali će naftna bušotina biti profitabilna samo ako nađemo dovoljno nafte i ako cijena nafte pređe određenu količinu. Trebat će jedno cijelo razdoblje da se utvrdi koliko nafte možemo izvući, kao i cijena nafte u tom trenutku. Nakon prvog razdoblja (na primjer, godinu dana), na temelju ove dvije podatkovne točke, možemo odlučiti hoćemo li nastaviti s bušenjem ili napuštanjem projekta. Te se odluke mogu kontinuirano donositi sve dok se ne postigne točka kod koje nema vrijednosti bušenja, a tada će bunar biti napušten.

Donja linija

Binomni model daje detaljniji prikaz dopuštajući prikaz u više razdoblja osnovne cijene imovine i cijene opcije za više razdoblja kao i raspon mogućih rezultata za svako razdoblje. Iako se Black-Scholes-ov model i binomni model mogu koristiti za vrednovanje opcija, binomni model ima širi spektar primjene, intuitivniji je i lakši za upotrebu.